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Hallo,

ich würde gerne die Auströmgeschwindigkeit aus eine Druckbehälter berechnen (und den Schub).

In einem Druckbehälter (200 bar, 293 K, Helium) ist ein Loch (6 mm Durchmesser). Nun möchte ich wissen, mit welcher Geschwindigkeit das Gas austritt.

Nach Toricelli kommt heraus mit v = WURZEIL((200bar-1bar)/32 kg/m^3) = 1100 m/s.

Das wäre allerdings höher als die Schallgeschwindigkeit, was nicht sein kann.

Ich hab das ganze noch für unterkritische kompressible Strömungen berechnet, allerdings mir für eine konvergierende Düse. Das ist natürlich auch nicht richtig.

Kennt jemand eine elegante Methode für dieses Problem?

Dank im Vorraus!

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Hallo, wenn Du ein Gas durch ein rundes Rohr schickst, dann variiert die Geschwindigkeit parabelförmig über den Querschnitt.
Bei einem runden Loch ist es ähnlich. Deswegen ist schon die Frage unzutreffend.
Du mußt mit Volumenstrom arbeiten, da kommst Du weiter.

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Klaus

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Auch dann kommt man nicht weiter, da bei derartig hohen Massenströmen die Reibung nicht mehr vernachlässigt werden kann.
Da die Reibung eine Funktion der Zeit ist, also zwei Ableitungen nach der Zeit, reicht Toricelli hier nicht mehr aus. Es wird auf einer DGL höherer Ordnung hinauslaufen, da zu Beginn die Auströmung höchstwahrscheinlich im transonischen Bereich liegt und dann eine weitere Ableitung der Zeit als Funktion der Zustandsgleichung vorkommt.

[Diese Nachricht wurde von Duke711 am 20. Feb. 2019 editiert.]

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Für eine Näherung oder einen worst case könnte man ja die Reibung vernachlässigen. Für einen Volumenstrom muss ich die Geschwindigkeit kennen. Ich dachte mir, das Problem wie einen Freistrahl zu behandeln. Unmittelbar an der Öffnung ist das Profil noch nicht weitgehend parabelförmig.

Meinst du mit transsonisch Ma zwischen 0,8 und 1,2? Wieso sollte die Strömung mit Überschall ausströmen?

[Diese Nachricht wurde von Friendly am 21. Feb. 2019 editiert.]

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Dann kann ich die Motivation den Fragestellers nicht nachvollziehen. Ohne die Berücksichtigung von Reibung und Kompressiblität, reicht dann der einfache Ansatz nach Toricelli bzw. der Energieerhaltungssatz.

Nur sind solche derart vereinfachten Berechnungen fernab von jeglicher Realität, also mir wäre da die Zeit zu schade. Berechnungen sollten ja schon annährend die Realität beschreiben könnnen.

Toricelli bzw. der Energieerhaltungssatz kann z.B. bei dem ausströmen eines Wassertanks anwenden, inkompressible und langsame Strömung. Unter solchen Annahmen beruht übrigens des Ansatz nach Toricelli.
Ansonsten könne ja der Schüler der 8. Klasse ein Rakententriebwerk dimensionieren.

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Zitat:

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Original erstellt von Duke711:
Auch dann kommt man nicht weiter, da bei derartig hohen Massenströmen die Reibung nicht mehr vernachlässigt werden kann.
Da die Reibung eine Funktion der Zeit ist, also zwei Ableitungen nach der Zeit, reicht Toricelli hier nicht mehr aus. Es wird auf einer DGL höherer Ordnung hinauslaufen, da zu Beginn die Auströmung höchstwahrscheinlich im transonischen Bereich liegt und dann eine weitere Ableitung der Zeit als Funktion der Zustandsgleichung vorkommt.

[Diese Nachricht wurde von Duke711 am 20. Feb. 2019 editiert.]

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Ich wüsste nicht, wieso Reibung hier eine bedeutung haben sollte. Wenn das Loch kurz ist, sollte es für eine Abschätzung ausreichen die Reibung zu vernachlässigen. Zusätzliche Reibung aufgrund von Verwirbelungen mit dem umgebenden Medium, ist für eine Abschätzung auch irrelvant und verkompliziert die Sache erheblich (turbulente Mehrphasenströmung) und führt eigentlich unweigerlich zur Notwendigkeit von numerischen Analysen. Reibung ist außerdem keine Funktion der Zeit (siehe Navier-Stokes-Gleichung).

Die Kompressibilität würde ich nicht missachten für eine Abschätzung, aber das liegt an dir. Mit der Annahme der Inkompressibilität hast du deinen worst case.

Ich hätte das ganze als isentrope Strömung betrachtet. Die Gleichungen findest du in jedem belieben Skript. Du musst wissen, ob dir der Aufwand wert ist.

Viel Erfolg!

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Reibung hat hier eine sehr große Bedeutung, zum einen an der Wand, die bei eine Gasflasche 5 mm stark ist, zum anderen von inneren verursachen Turbulenzen.
Außerdem ist die Reibung sehr wohl eine Ableitung nach der Zeit, da eine Funktion der Geschwindigkeit und somit nach Weg und Zeit.

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Da nach der Ausströmgeschwindigkeit gefragt ist, sind Verwirbelungen nach dem Austritt irrelevant, weil das Geschwindigkeitsprofil zunehmend abflacht (auch aufgrund der Dissipation durch Reibung in den Wirbeln, weswegen sie gerne als künstliche Viskosität modelliert werden).

Eine Wandstärke von 5 mm halte ich nicht für besonders groß. Aufgrund dessen, dass Düsenströmungen mit Euler-Gleichungen gute Ergebnisse erzielen, würde ich die Reibung nicht mitberücksichtigen. Dies macht das Problem komplizierter und führt außerdem vom worst case ab, wobei nicht ganz klar ist, was der worst case eigentlich ist.

Zitat:

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Außerdem ist die Reibung sehr wohl eine Ableitung nach der Zeit, da eine Funktion der Geschwindigkeit und somit nach Weg und Zeit.

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Siehe https://de.wikipedia.org/wiki/Navier-Stokes-Gleichungen. Der Reibungsterm wird durch die Divergenz der örtlichen Geschwindigkeitsgradienten beschrieben. Zeitliche (oder gar zweifach zeitlich abgeleitete Terme, die du aufgeführt hast, die in der Navier-Stokes-Gleichung ohnehin nicht vorhanden sind) sind nicht vorhanden. Bei instationären Problemen ändert sich die Geschwindigkeit mit der Zeit, das ist richtig. Deine Aussage würde jedoch im Umkehrschluss bedeuten, dass bei einer stationären Strömung die Reibungsterme zu 0 werden, weil die Ableitungen nach der Zeit 0 sind. Auch eine stationäre Strömung ist Scherspannungen bzw. Reibung ausgestzt.

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Also die Navier-Stokes-Gleichung die ich kenne enthält eine partielle Ableitung nach Zeit, ohne diese wäre diese Gleichung auch nicht zu lösen.
Außerdem ist das Ausströmen aus einem Behälter ein reiner instationärer Vorgang, da sich erst ein Gleichheitsgweichtszustand einstellt wenn der Behälter leer ist. Selbst der Computer kann das nicht stationär lösen...

Und stationär bedeutet noch lange nicht das nun die Reibungstherme null werden. Die stationäre Navier-Stokes-Gleichung ist doch nur so weit vereinfacht worden, dass die Strömung als konstant angenommen wird, sich eben nicht mehr mit der Zeit ändert und darum die partielle Zeitableitung entfallen ist.
Und genau diese Annahme ist falsch. Selbst bei einer langsamen und inkompressiblen Ströung z.B: bei einen Wassertank ist die Strömung keines Falls stationär. 

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Zitat:

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Also die Navier-Stokes-Gleichung die ich kenne enthält eine partielle Ableitung nach Zeit, ohne diese wäre diese Gleichung auch nicht zu lösen.

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Die Lösbarkeit der Gleichung hat nichts mit der partiellen Ableitung zu tun. Sie ist sehr wohl lösbar, ansonsten wäre der stationäre fall nicht lösbar. Er ist sogar einfacher zu lösen.

Zitat:

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Außerdem ist das Ausströmen aus einem Behälter ein reiner instationärer Vorgang, da sich erst ein Gleichheitsgweichtszustand einstellt wenn der Behälter leer ist. Selbst der Computer kann das nicht stationär lösen...

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Er ist instationär, richtig. Wenn man den Behälter hinreichend groß wählt, so kann man für eine worst case Abschätzung annehmen, dass der Druck im Behälter gleich bleibt. Natürlich nimmt er in der Realität schnell ab. Der letzte Satz macht keinen Sinn, das hat nichts mit dem Computer zu tun. Wenn du hartnäckig bist, kannst du das ganze auch mit einem Blatt Papier lösen, dauert nur ewig.

Zitat:

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Und stationär bedeutet noch lange nicht das nun die Reibungstherme null werden.

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Natürlich werden sie nicht null, das habe ich ja versucht dir zu erklären. Du hast irgendwo zweifache Ableitungen nach der Zeit im Reibugnsterm der Navier-Stokes-Gleichung gefunden.

Zitat:

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Die stationäre Navier-Stokes-Gleichung ist doch nur so weit vereinfacht worden, dass die Strömung als konstant angenommen wird, sich eben nicht mehr mit der Zeit ändert und darum die partielle Zeitableitung entfallen ist.

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Ja genau das! Es gibt nur eine partielle Ableitung nach der Zeit, solange keine zusätzliche äußeren Kräfte (in Abhängigkeit der Zeit) wirken.

Zitat:

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Und genau diese Annahme ist falsch. Selbst bei einer langsamen und inkompressiblen Ströung z.B: bei einen Wassertank ist die Strömung keines Falls stationär. 

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Die Reibungsterme werden natürlich nicht null, das entspringt deiner Argumentation. Natürlich ist der Fall nicht stationär.

An dieser Stelle breche ich die Sache mal im Sinne des Themenstarters ab, da es ihm nicht hilft. Friendly geht es um eine möglichst realitätsnahe worst case Beschreibung des Problems, denke ich mal. Meiner Meinung nach geht das am besten, indem man eine isentrope Strömung annimmt. Die Annahme von Inkompressiblität kann bei diesen Größen schnell zu unrealistischen Ergebnissen führen.

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