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i.pdf

Hallo zusammen,

aktuell versuche ich mich in die Thematik der nichtelastischen Knickung einzuarbeiten.
Da gibt es verschiedene Ansätze:
Kurzgesagt: Bei Erreichen der Fließspannung gilt die Euler-Knickkurve nicht mehr und es wir auf verschiedene andere Ansätze ausgewichen. Z.B. Tetmajer-Gerade, Johnson-Parabel oder Engesser-Shanley.
Viele Lehrbücher vergleichen die unterschiedlichen Knickkurven. Ich versuche jetzt ebenfalls diese Kurven zu erzeugen, Johnson und Tetmajer Graphen sowie Euler-Kurve ist kein Problem. Bei der Konstruktion der Engesser-Shanley-Kurve komme ich jedoch nicht weiter. Die Vorschrift lautet:

sigma = E_T(sigma)*pi^2 / Lambda^2

sigma: Knickspannung
E_T(sigma): Tangentenmodul abhängig von sigma
Lambda: Schlankheitsgrad

Diese Funktion ist allerdings von sich selbst abhängig und soll wohl iterativ gelöst werden. Mir ist jedoch nicht ganz klar wie ich das anstellen soll.

Im Anhang auch noch eine Skizze. Dabei ist sigma_k die kritische Knickspanung.

Hat jemand vielleicht eine Idee die mir weiterhelfen kann oder eine vernünftige Literaturquelle, die das vielleicht sogar vorrechnen? Ich habe schon gefühlt sämtliche Literatur gewälzt.

Vielen Dank,
beste Grüße

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Hallo samson05;

eine numerische Lösung könnte sein, in die Gleichung für die Knickspannung nach Engesser-Shanley analytische Materialgesetze für die Knickdehnung (z.B. Ramberg-Osgood) einfließen zu lassen.

Eine beispielhafte Untersuchung hierzu findest du hier:
https://www.research-collection.ethz.ch/bitstream/handle/20.500.11850/145662/eth-24591-01.pdf

Für die, die es weniger theoretisch mögen, sei auf die DIN 4114 verwiesen.
Auch der gute, alte Petersen: Statik und Stabilität der Baukonstruktionen; Vieweg-Verlag bietet hier einiges.

Beste Grüße
Michael

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Zitat:

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Original erstellt von ibgross:
Hallo samson05;

eine numerische Lösung könnte sein, in die Gleichung für die Knickspannung nach Engesser-Shanley analytische Materialgesetze für die Knickdehnung (z.B. Ramberg-Osgood) einfließen zu lassen.

Eine beispielhafte Untersuchung hierzu findest du hier:
https://www.research-collection.ethz.ch/bitstream/handle/20.500.11850/145662/eth-24591-01.pdf

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Guten Morgen,
danke für die Antwort.
Das einsetzen von analytischen Modellen zur Materialbeschreibung habe ich auch schon versucht. Romberg-Osgood, Swift, Ludwik etc.

Das Problem was sich mir nicht erschließt ist warum die abgebildete Kurve in vielen Lehrbüchern den Wendepunkt aufweist. Selbst wenn ich verschiedene  Kombinationen von Schlankheitsgrad und Tangentenmodul verwende ergibt das nicht diese Kurve. Ich könnte mir vorstellen, dass die Kurve evtl eine untere Schranke eines jeden Wertepaares ist. Aber wie diese Lösung finden? 

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Unbenannt.jpg

Liegt am Tangentenmodul, grundsätzlich hat die Funktion einen Wendepunkt, siehe Beispiel im Anhang.

Habe aber im Beispiel keinerlei Funktion für das Tangenmodul definiert und es nur als Eingangsgröße genommen, darum dann der Sprung in der Ausgangsfunktion.

[Diese Nachricht wurde von Duke711 am 19. Aug. 2019 editiert.]

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Zitat:

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Original erstellt von Duke711:
Liegt am Tangentenmodul, grundsätzlich hat die Funktion einen Wendepunkt, siehe Beispiel im Anhang.

Habe aber im Beispiel keinerlei Funktion für das Tangenmodul definiert und es nur als Eingangsgröße genommen, darum dann der Sprung in der Ausgangsfunktion.

[Diese Nachricht wurde von Duke711 am 19. Aug. 2019 editiert.]

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Hallo,
also wie du auf einen derartigen Funktionsverlauf kommst erschließt sich mir absolut nicht. Welche Funktion steckt hinter dem Simulink-Skript? Ich bin überhaupt nicht mit dieser Schaltung vertraut deshalb sehe ich dort keinen Zusammenhang.
Zumal so ein Wendepunkt in meinen Augen auch physikalisch keinen Sinn macht.

Vielleicht sollte ich das Thema nochmal bei einem Bauingenieur ansprechen. In deren Lehrbüchern ist das häufiger vertreten habe ich den Eindruck.

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Dahinter steckt nichts anderes als sigma = [pi² * k(sigma)]/lambda²

K ist einfach nur ein Faktor als Ersatz für das Tangentmodul. Die Funktion muss ja einen Wendepunkt haben, ansonsten würde diese mit zunehmenden Schlankheitsgrad gegen Null laufen, da stetig überproportional fallend.Das würde auch dann überhaupt nicht den Beobachtungen entsprechen. Dort geht mit zunehmenden Schlankheitsgrad das inelastische Knicken zu einem idealen elastischen Knicken, also linearen Knicken entsprechend der Euler-Funktion, über.
Bei der Euler-Funktion (1/x) wären die möglichen Spannungen bei geringen Schlanksheitsgrad nahe zu unendlich, was natürlich so der Realität nicht entspricht.
Warum man hier zu einen Bauingenieur fragen sollte erschließt sich mir nicht. Das sind Grundlagen Mechanik 1, also Statik, das haben auch Maschinenbauer sowie viele andere Mint Fächer.   

Nachtrag

Genau genommen steckt nichts dahinter als zwei gespiegelte Potenzfunktionen. Eine positive bis zum Wendepunkt, sowie eine negative nach dem Wendepunkt. Mathematisch nennt mas das eine Sigmoidfunktion mit einer bestimmten Wachstumsfunktion.

[Diese Nachricht wurde von Duke711 am 20. Aug. 2019 editiert.]

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Matlab_Knicken.png

Guten Morgen,
also wenn ich mir deinen Plot anschaue läuft eben gerade dieser mit zunehmendem Schlankheitsgrad gegen Null. Was auch nach meinem Verständnis erstmal Sinn ergibt, da ein großes Lambda einem sehr langen Stab entspricht was eine geringe Knickspannung zur Folge hat.

Mit kleiner werdendem Schlankheitsgrad erreicht die Knickspannung nun irgendwann den Wert bei dem das Material das Material den elastischen Bereich überschreitet und plastische Deformation beginnt. Ab hier ist die Euler-Funktion dann natürlich unsinnig und es wird auf einen alternativen Ansatz zurück gegriffen (Engesser, Tretmajer, Johnson, s. Anhang).

Ich kann deinen Kurvenverlauf leider immer noch nicht nachvollziehen. Steckt da schon ein Optimierer hinter der k in irgendeiner Weise anpasst oder ist er konstant?
sigma = [pi² * k(sigma)]/lambda² zeigt ja die Abhängigkeit des Tangentenmoduls von der Spannung, aber was steck in dem Script? Ist k konstant?

Der Code für die Graphen:

Code:

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%Euler
Lr = [1:0.1:100]
E = 160000
sigma_Eul = ((pi^2).*E) ./ (Lr).^2;
plot(Lr,sigma_Eul,'DisplayName','Euler')
hold on

%johnson
K = 1
L = [0.1:0.1:100]
s0 = 500
r = 1
sigma_John = s0 - ((s0*K.*L)/(2*pi*r)).^2 / E
plot(L,sigma_John,'DisplayName','Johnson')
hold on

%Tretmajer
a = 0
b = -1,14
c = 500
Lambda = [1:1:100]
sigma_k = a.*Lambda.^2+b.*Lambda+c
plot(Lambda,sigma_k,'DisplayName','Tretmajer')
xlim([0 100])
ylim([0 700])
lgd = legend;

%Engesser
Lr = [1:0.1:100]
E_T = 1000
sigma_Eng = ((pi^2).*E_T) ./ (Lr).^2;
plot(Lr,sigma_Eng,'+','DisplayName','Engesser')
hold on

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Unbenannt.jpg

In deinen Matlab Code fehlt bei Engesser aber die Abhängigkeit von Sigma. D.h. dein Tangentenmodul ändert sich nicht mit dem Ergebnis, was dazu führt das eine einfache 1/x Funktion heraus kommt.

Hier mal die Lösung von Simulink:

Lambda ist hier eine ramped Source und steigt linear mit der Zeit; 1 pro 1 s -> 61 = 60 Sekunden. Da als Anfangswert mit einen Schlankheitsgrad (Lambda 1) gestartet wird.

Als Beispiel habe ich mal die Werte von 7075 T6 genommen:

E-Modul: 71700
Zugfestigkeit: 510
Streckgrente 0,2%: 450
N Faktor (Verfestigung): 33

Für das Tangentenmodul habe ich die Ramberg-Osgood Gleichung verwendet.

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Zitat:

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Original erstellt von Duke711:
In deinen Matlab Code fehlt bei Engesser aber die Abhängigkeit von Sigma. D.h. dein Tangentenmodul ändert sich nicht mit dem Ergebnis, was dazu führt das eine einfache 1/x Funktion heraus kommt.

Hier mal die Lösung von Simulink:

Lambda ist hier eine ramped Source und steigt linear mit der Zeit; 1 pro 1 s -> 61 = 60 Sekunden. Da als Anfangswert mit einen Schlankheitsgrad (Lambda 1) gestartet wird.

Als Beispiel habe ich mal die Werte von 7075 T6 genommen:

E-Modul: 71700
Zugfestigkeit: 510
Streckgrente 0,2%: 450
N Faktor (Verfestigung): 33

Für das Tangentenmodul habe ich die Ramberg-Osgood Gleichung verwendet.

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Herzlichen Dank für die Hilfestellung. Jetzt bekomme ich auch die korrekte Lösung. 

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